Raíz Cuadrada
Historia:
Las raíces cuadradas son expresiones matemáticas que surgieron al plantear diversos problemas geométricos como la longitud de la diagonal de un cuadrado. El Papiro de Ahmes datado hacia 1650 a. C., que copia textos más antiguos, muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas. En la antigua India, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue al menos tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados alrededor del 800-500 a. C. (posiblemente mucho antes). Un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3 es dado en el Baudhayana Sulba Sutra.] Aryabhata en su tratado Aryabhatiya (sección 2.4), dio un método para encontrar la raíz cuadrada de números con varios dígitos.
Las raíces cuadradas fueron uno de los primeros desarrollos de las matemáticas, siendo particularmente investigadas durante el periodo pitagórico, cuando el descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 era irracional (inconmensurable) o no expresable como cociente alguno, lo que supuso un hito en la matemática de la época. Posteriormente se fue ampliando la definición de raíz cuadrada. Para los números reales negativos, la generalización de la función raíz cuadrada de éstos da lugar al concepto de los números imaginarios y al cuerpo de los números complejos, algo necesario para que cualquier polinomio tenga todas sus raíces (teorema fundamental del álgebra). La diagonalización de matrices también permite el cálculo rápido de la raíz de una matriz. Inicialmente mostraron su utilidad para la resolución de problemas trigonométricos y geométricos, como la diagonal de un cuadrado o el teorema de Pitágoras. Posteriormente fueron ganando utilidad para operar con polinomios y resolver ecuaciones de segundo grado o superior, siendo una de las herramientas matemáticas más elementales hoy en día.
David Eugene Smith, en History of Mathematics, dice acerca de la situación existente:"En Europa esos métodos (para encontrar el cuadrado y la raíz cuadrada) no aparecieron antes de Cataneo (1546). Él dio el método de Aryabhata para determinar la raíz cuadrada".
David Eugene Smith: El símbolo de la raíz cuadrada fue introducido en 1525 por el matemático Christoph Rudolff para representar esta operación que aparece en su libro Coss, siendo el primer tratado de álgebra escrito en alemán vulgar. El signo no es más que una forma estilizada de la letra r minúscula para hacerla más elegante, alargándola con un trazo horizontal, hasta adoptar el aspecto actual, que representa la palabra latina radix, que significa raíz. También se conjetura que pudiese haber surgido de la evolución del punto que en ocasiones se usaba anteriormente para representarlo, donde posteriormente se le habría añadido un trazo oblicuo en la dirección del radicando. Tiempo atrás, varios matemáticos vieron la necesidad de idear números que representasen la raíz cuadrada de números negativos para poder resolver todas las ecuaciones de segundo grado, pero no será hasta 1777 cuando Euler simbolice la raíz cuadrada de -1 con la letra i, dando así cabida al desarrollo de los números complejos.
Irracionalidad de las raíces cuadradas
Las raíces cuadradas de los números enteros que no son cuadrados perfectos son siempre números irracionales, que son números no expresables como el cociente de dos números enteros. Es decir, la raíz cuadrada de un número entero siempre será entero o irracional. Cualquier número entero puede ser expresado como el producto de una serie de factores primos elevados a diversos exponentes. De ser todos pares, las propiedades de la potenciación permiten reducir la raíz a un número natural. Sólo si uno o más de los factores tiene un exponente impar la raíz no es natural.Si fuera racional se debería poder expresar como con p, q enteros y primos entre sí. Elevando al cuadrado ambas partes se obtiene que, lo que es absurdo, pues a un lado queda al menos un factor primo con exponente impar mientras que, al otro lado de la igualdad, tanto p2 como q2 se expresan en función de producto de primos elevados a exponentes necesariamente pares.Por una reducción al absurdo llegaron los pitagóricos a la demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2, atribuida a Hipaso de Metaponto, un discípulo de Pitágoras. La idea, contraria a lo esperado en la matemática de entonces, supuso la denominada crisis de los inconmensurables de la filosofía pitagórica.
No obstante, es exactamente la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1, siendo fácil la construcción gráfica de la raíz. Por ello buena parte de la matemática helénica se centró en la geometría aplicada como forma de calcular gráficamente valores como ése. Teodoro de Cirene llegó a la espiral que lleva su nombre, que permite representar gráficamente cualquier raíz, y posteriormente Euclides llegó a un método más general.
Resolución de raíces cuadradas
AlgoritmoCuando vamos a realizar la raíz cuadrada con su método de resolución usual podemos ver las partes en las que se divide, aunque las esenciales de ésta no tienen por qué aparecer o ser usadas solamente en la operación para ser calculada la raíz cuadrada. Según esta imagen, podemos ver que las partes de las que se compone; son:
1. Radical: es el símbolo que indica que es una raíz cuadrada.
2. Radicando o cantidad subradical: es el número del que se obtiene la raíz cuadrada.
3. Raíz: es propiamente la raíz cuadrada del radicando.
4. Renglones auxiliares: nos ayudarán a resolver la raíz cuadrada.
5. Resto: es el número final del proceso para resolver la raíz cuadrada.
Algoritmos para máquinasCalculadoras, hojas de cálculo y otrosoftware también se usan con frecuencia para calcular raíces cuadradas. Los programas de software ponen típicamente buenas rutinas en su ejecución para computar la función exponencial y el logaritmo natural o logaritmo, computándose después la raíz cuadrada de x usando la identidad:Se explota la misma identidad al computar raíces cuadradas con tablas de logaritmos o reglas de cálculo.
Propiedades
Gráfica de la ecuación:
y2 = xLa función raíz cuadrada es una función cuyo dominio e imagen es el conjunto (el conjunto de todos los números reales no negativos). Esta función regresa un valor que es único. Las siguientes propiedades de la raíz cuadrada son válidas para todos los números reales no negativos x, y:
La función raíz cuadrada, en general, transforma números racionales en números algebraicos; es racional si y sólo si es un número racional que puede escribirse como fracción de dos cuadrados perfectos. Si el denominador es, entonces se trata de un número natural. Sin embargo, es irracional. La interpretación geométrica es que la función raíz cuadrada transforma la superficie de un cuadrado en la longitud de su lado. Contrariamente a la creencia popular, no necesariamente es igual a x. La igualdad se mantiene sólo para los números no negativos x, pero cuando x < 0, es un número positivo, y entonces. Por lo tanto, para todos los números reales x (véase valor absoluto).Suponga que x y a son números reales, y que x2 = a, y se desea encontrar x. Un error muy común es "tomar la raíz cuadrada" y deducir que. Esto es incorrecto, porque la raíz cuadrada de x2 no es x, sino el valor absoluto, una de las reglas descritas anteriormente. Luego entonces, todo lo que se puede concluir es que, o equivalentemente.
En cálculo, cuando se prueba que la función raíz cuadrada es continua o derivable, o cuando se calculan ciertos límites, la siguiente igualdad es muy útil (consiste en multiplicar y dividir por el conjugado, véase Binomio conjugado) y es válida para todos los números no negativos x e y que no sean ambos cero.
Radicales jerarquizados cuadrados
La identidad implica que, y por repeticiones sucesivas:
Por razones análogas se obtiene:
o que Si r es una entidad estrictamente superior a uno,
Esta forma de expresar números mediante la repetición sucesiva de números contenidos dentro de raíces cuadradas puede tener diversas aplicaciones como la resolución de algunos tipos de ecuación o la expresión de algunos números famosos como el número áureo o el número pi.
Fracciones continuas
Uno de los resultados más intrigantes del estudio de números irracionales como fracciones continuas fue obtenido por Joseph-Louis Lagrange cerca de 1780. Lagrange descubrió que la raíz cuadrada de cualquier número entero positivo no cuadrado se puede representar por una fracción continua periódica, es decir, donde ocurre cierto patrón de dígitos repetidamente en los denominadores. En un sentido estas raíces cuadradas son números irracionales mucho más simples, porque pueden ser representadas con un patrón de dígitos de repetición simple.
Aproximaciones enteras
Los diseñadores de presentaciones de videojuegos tienen a veces necesidad de construir tablas de partes enteras de las raíces cuadradas de los enteros naturales. Las primeras dadas por:
CUADRADO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10... 15 16 17... 24 25 26 27
RAÍZ 0 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3... 3 4 4... 4 5 5 5
Una observación de los primeros términos pone de manifiesto que la construcción para de enteros en enteros, y se salta sucesivamente un incremento de manera regular. Más precisamente:
El cero es repetido una vez.
El 1 tres veces.
El 2 cinco veces
El 3 siete veces.
El 4 nueve veces.
El número de veces que el entero n es repetido es el n-ésimo entero impar. La prueba reside sobre la identidad siguiente:
Quizás la raíz cuadrada más útil es, también conocida como constante pitagórica, que es geométricamente la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos dos catetos miden la unidad (ver imagen), pudiéndose demostrar mediante el teorema de Pitágoras:
Probablemente la raíz cuadrada de 2 fue el primer número irracional descubierto. El valor de este número con 10 cifras decimales por truncamiento es 1,4142135623
Raíz cuadrada de 3
Mide raíz cuadrada de 3, la diagonal de un cubo cuyas aristas miden 1.Artículo principal: Raíz cuadrada de 3
La raíz cuadrada de 3: también conocida como constante de Teodoro (por Teodoro de Cirene), es geométricamente el valor de la diagonal de un cubo cuyas aristas miden la unidad, pudiéndose demostrar con el teorema de Pitágoras. También es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden raíz cuadrada de 2 y la unidad respectivamente.
El valor de este número con 10 cifras decimales por truncamiento es 1,7320508075
Raíz cuadrada de 5
La raíz cuadrada de 5: aparece en la fórmula del número áureo, y es geométricamente la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos miden 1 y 2 respectivamente, comprobándose mediante el teorema de Pitágoras. Su valor con 10 cifras decimales por truncamiento es 2,2360679774.
